Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là số hữu tỷ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sketchpad3356: 22-04-2017 - 08:33
Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$
Bắt đầu bởi Sketchpad3356, 22-04-2017 - 08:33
số nguyên tố
#2
Đã gửi 22-04-2017 - 08:43
Hoang Dinh Nhat
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
$\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là số hữu tỷ với p là số nguyên tố
$\Leftrightarrow 1+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương
Đặt $1+p+p^2+p^3+p^4=a^2$ $(a\epsilon \mathbb{N}^{*})$
Ta có: $4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=4a^2$
Do đó: $4p^4+4p^3+p^2<4p^4+4p^3+4p^2+4p+4<4p^4+p^2+4+4p^3+8p^2+4p$
Nên $(2p^2+p)^2<(2a)^2<(2p^2+p+2)^2$
$\Leftrightarrow 2p^2+p<2a<2p^2+p+2$
Vậy $2a=2p^2+p+1$
Như vậy ta có: $4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=(2p^2+p+1)^2$
$\Leftrightarrow 4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=4p^4+p^2+1+4p^3+4p^2+2p$
$\Leftrightarrow (p-3)(p+1)=0$
$\Leftrightarrow p=3$ (nhận) hoặc $p=-1$ (loại)
Với p=3 ta có $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}=\sqrt{121}=11$
- NHoang1608, dat102 và Sketchpad3356 thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
